$3x^2-10x+k=0$সমীকরণের মূলদ্বয় a ও $\frac{1}{a}$হলে, k =?, a =?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো: \(3x^2 - 10x + k = 0\)

আমরা জানি, একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ \(Ax^2 + Bx + C = 0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে,

    
• মূলদ্বয়ের যোগফল \(\alpha + \beta = -\frac{B}{A}\)
    
• মূলদ্বয়ের গুণফল \(\alpha\beta = \frac{C}{A}\)

প্রদত্ত সমীকরণ \(3x^2 - 10x + k = 0\) কে আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই:

    
• \(A = 3\)
    
• \(B = -10\)
    
• \(C = k\)

সমীকরণের মূলদ্বয় \(a\) এবং \(\frac{1}{a}\)।

১. \(k\) এর মান নির্ণয়:

মূলদ্বয়ের গুণফলের সূত্র ব্যবহার করে পাই:

২. \(a\) এর মান নির্ণয়:

\(k = 3\) এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই:

এখন, এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে \(x\) এর মান অর্থাৎ মূলদ্বয় নির্ণয় করব। আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Factorization) পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি:

সুতরাং, \(x - 3 = 0\) অথবা \(3x - 1 = 0\)

যদি \(x - 3 = 0\) হয়, তাহলে \(x = 3\)

যদি \(3x - 1 = 0\) হয়, তাহলে \(x = \frac{1}{3}\)

অতএব, সমীকরণটির মূলদ্বয় হলো \(3\) এবং \(\frac{1}{3}\)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, সমীকরণের মূলদ্বয় \(a\) এবং \(\frac{1}{a}\)।

যদি আমরা \(a = \frac{1}{3}\) ধরি, তাহলে \(\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3\)। এটি মূলদ্বয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

বিকল্পগুলোতে \(k=3\) এবং \(a=\frac{1}{3}\) এর সমন্বয়টি পাওয়া যায়।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো \(k = 3\) এবং \(a = \frac{1}{3}\)।